5. Vážení ve vesmíru
Jak zjišťujeme u černých děr hmotnost? Jde to vůbec?
Úvod tématu
4. Vznik a výskyt černých děr
6. Vážení černé díry ve středu Galaxie
Asi ses dovtípil(a), že na zvážení nějakého kosmického objektu bude potřeba trochu jiný postup než u vážení mouky na palačinkové těsto. Obecně jsou dva postupy. První je analýza světla, které daný objekt vyzařuje, a následné vytvoření fyzikální simulace tělesa, která odpovídá našemu pozorování. To však u černé díry udělat nejde, protože z černé díry žádné světlo nevychází. Proto je třeba použít druhou variantu, což je analýza pohybu tělesa obíhajícího okolo objektu, jehož hmotnost chceme zjistit.
Základy orbitální mechaniky
Už jsi někdy přemýšlel(a), proč Země vydrží na oběžné dráze kolem Slunce po dlouhé roky? Na Zemi přeci působí přitažlivá gravitační síla Slunce, tak proč Země na Slunce nespadne? Klíčové je si uvědomit, že Země se kolem Slunce pohybuje velmi vysokou rychlostí. Dalším důležitým faktem je, že dráha, po které se Země pohybuje, je „kruhová“. Na Zemi kvůli tomu působí tzv. odstředivá síla FO, kterou sami cítíte, například když jedete kruhovým objezdem nebo zatáčkou. Směr odstředivé síly na auto i na Zemi působí od středu kruhové dráhy ven. V opačném směru, do středu, působí gravitační síla FG (alespoň tedy v případě obíhající Země – gravitační síla středů kruhových objezdů ještě nebyla dostatečné prozkoumána ).
Ilustrace odstředivé síly FO působící na auto o hmotnosti m1 pohybující se rychlostí v na kruhovém objezdu
Aby se obíhající těleso ani nepřibližovalo, ani nevzdalovalo od středu dráhy, jinými slovy pohybovalo se po kruhové dráze, musí být velikost těchto sil stejná a musí tedy platit:
Vzorec pro určení velikosti odstředivé síly je:
kde m je hmotnost obíhajícího tělesa v kg, v je rychlost jeho pohybu v metrech za sekundu a r je poloměr jeho dráhy v metrech.
Vzorec pro určení velikosti gravitační síly je:
kde G je opět gravitační konstanta (G= 6,67∙10-11 m3 kg-1 s-2), M je hmotnost centrálního tělesa v kg, m je hmotnost obíhajícího tělesa v kg a r je vzdálenost obou těles v metrech.
Působení odstředivé síly FO a gravitační síly FG na planetu o hmotnosti m2, která obíhá rychlostí v kolem hvězdy o hmotnosti m1
Porovnáním vzorců obou sil dostaneme:
Rychlost v vyjadřuje jakou dráhu urazí obíhající těleso za čas. V případě kruhové dráhy můžeme rychlost vyjádřit jako:
kde 2πr je délka dráhy jednoho kruhového oběhu a P neboli perioda je čas, za který těleso dokončí jeden kruhový oběh. Dosazením do předchozího vztahu dostaneme:
Tuto rovnici můžeme upravit vydělením celé rovnice m, vyškrtáním r na levé straně, vynásobením celé rovnice r2. Když ještě celou rovnici vydělíme 4π2 dostaneme:
Tato rovnice je zjednodušenou verzí třetího Keplerova zákona, jednoho z nejvyužívanějších zákonů v astrofyzice. I když jsme ji odvodili pro případ dokonale kruhové dráhy, tak shodou okolností platí i pro obecnější případ eliptické dráhy, pro kterou je odvození o něco složitější. Jednoduše tak můžeme nahradit poloměr dráhy r za velikost velké poloosy eliptické dráhy značenou a:
Oběh kolem černé díry
Z odvozené rovnice vidíš, že stačí získat jen velkou poloosu dráhy a a periodu oběhu P nějakého tělesa, které obíhá centrální černou díru naší Galaxie a následně můžeme určit její hmotnost M.