6. Vážení černé díry ve středu Galaxie
Skvěle, nyní už toho víš dost na to, abys zvážil(a) černou díru ve středu naší Galaxie. Tak pojďme na to!
Co máš k dispozici
Z rovnice odvozené v minulé kapitole víš, že teď stačí získat velkou poloosu dráhy a a periodu oběhu P nějakého tělesa, které obíhá centrální černou díru naší Galaxie, a můžeš určit její hmotnost M.
To může znít jako jednoduchý úkol, protože v naší Galaxii přece obíhají stovky miliard hvězd, že? Tady si ale musíme dát pozor. Centrální černá díra totiž tvoří jen malý zlomek hmotnosti naší Galaxie a oběh vzdálených hvězd je centrální černou dírou ovlivňován jen málo. V tomto máme ale štěstí, protože existuje několik málo hvězd, které obíhají v bezprostřední blízkosti naší centrální černé díry, kde gravitačnímu poli dominuje naše černá díra a gravitační působení ostatních objektů je zanedbatelné.
Zjisti více: Pohled do středu naší Galaxie
Na videu se můžeš podívat, jak vypadá pozorování okolí naší centrální černé díry:
Jednou z nejbližších hvězd k černé díře je hvězda s označením S2, zaměříme se proto na její dráhu. Periodu oběhu určili vědci jako 15,8 let. Na tobě bude určení velikosti velké poloosy eliptické dráhy a z napozorovaných dat vykreslených na následujícím obrázku, který si vytiskni.
K dispozici máš 19 měření polohy hvězdy S2 získaných v průběhu celého jejího oběhu. Modré úsečky určují nejistotu měření.
Na tobě bude určení velikosti velké poloosy eliptické dráhy a z napozorovaných dat vykreslených na tomto obrázku. Obrázek si vytiskni (klikni na ikonku tiskárny), dá se také stáhnout a přeposlat (třeba rodičům k vytisknutí). Pokud se ti obrázek nezobrazuje správně můžeš si ho stáhnout a vytisknout.
Jak postupovat
Určení velikosti velké poloosy eliptické dráhy a je možné udělat několika způsoby. Nejpřesnější je samozřejmě zpracování na počítači a proložení polohových bodů rovnicí elipsy. To ale nejspíš každý nezvládne, a tak můžeme využít nejjednodušší způsob, jak narýsovat elipsu, a to pomocí dvou špendlíků, provázku a tužky.
Součet vzdálenosti jakéhokoliv bodu na elipse k ohnisku F1 a vzdálenosti toho samého bodu k ohnisku F2 se totiž nemění, takže pokud přivážeš konce provázku na špendlíky, tak jednoduše narýsuješ elipsu. Délka provázku je rovna dvojnásobku délky velké poloosy 2a. Samozřejmě elipsu chceš narýsovat tak, aby co nejlépe odpovídala datům. Nejvíce vyhovující délku provázku si zapiš a převeď ji na úhlové vteřiny – vytvoř si měřítko (kolik úhlových vteřin – značeno “ – je 1 cm? ).
Pozor však na to, že polohy hvězdy S2 jsou v úhlových vteřinách značených “ a ne metrech, které potřebuješ do vzorce. Když totiž pozorujeme nějaké těleso na obloze, tak můžeme určit jen jeho úhlový rozměr, ne jeho skutečný rozměr. K určení skutečné velikosti musíš znát ještě vzdálenost objektu od místa pozorování a použít trochu goniometrie.
Situaci znázorňuje následující obrázek:
Mějme vesmírný objekt ve vzdálenosti d o velikosti D. Z pohledu pozorovatele je vidět pod úhlem α. Rovnoramenný trojúhelník AEC můžeme rozdělit na dva pravoúhlé trojúhelníky ABC a ABE. Jelikož víme, že úsečka AB má délku d a z měření délky provázku známe pozorovaný úhlový rozměr velké poloosy naší elipsy α/2, můžeme vyřešit trojúhelník ABC pomocí goniometrické funkce tangens.
V trojúhelníku ABC platí:
Nás zajímá velká poloosa elipsy, tedy polovina rozměru pozorovaného objektu značená D/2.
D/2 osamostatníme na pravé straně rovnice vynásobením vzdáleností objektu d:
Vzdálenost od Země ke středu naší Galaxie d byla vědci určena na 2,43 × 1020 m. Teď už stačí všechno zadat do kalkulačky a vyjde nám výsledek. Pozor na to, zda zadáváš do kalkulačky úhel ve správných jednotkách. Většina kalkulaček požaduje vstup ve stupních. Pro převedení hodnoty v úhlových vteřinách na stupně je třeba ji vydělit 3600. Zapiš si výslednou velikost poloosy dráhy hvězdy S2.
Posledním krokem je dosadit hodnotu pro velkou poloosu a do 3. Keplerova zákona:
Ten si upravíme tak, aby na pravé straně zbyla jen hmotnost černé díry M. Stačí vydělit G a vynásobit 4π2:
Nezapomeň, že všechny hodnoty je potřeba zadávat v jednotkách SI (metry, sekundy, …).
Máš výsledek? Ověř si jeho správnost.
Pokud ti hodnota vyšla okolo 5 × 1036 kg , tak na sebe můžeš být právem hrdý(á), protože jsi právě zvážil(a) černou díru v centru naší Galaxie! Výsledek 5 × 1036 kg je totiž velmi blízko současně uznávané hodnotě 8 × 1036 kg. Malý rozdíl ve tvém výsledku a hodnotě uváděné vědci je dán několika zjednodušeními, díky kterým jsme se vyhnuli vysokoškolské matematice. Rovněž „provázková” metoda přináší další nejistotu.
Vědci řeší vážení naší centrální černé díry o něco složitěji, protože rovina eliptické dráhy hvězdy S2 není kolmá na rovinu pozorování, a tak je potřeba zahrnout i spektrální data hvězdy, která vypovídají o jejím pohybu od nás a k nám. Rovněž v extrémně silném gravitačním potenciálu černé díry se projevují relativistické efekty, které je pro přesné určení potřeba zahrnout do výpočtů. Je tedy ještě spousta věcí, co se můžeš naučit a co můžeš objevit.
